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  MASTER MATHEMATIQUES DE METZ   

 PREMIERE ANNEE  

2009-2010

 
 

 

 
Télécharger la fiche d'inscription pédagogique du S7 et du S7
(la fiche du S7 est à remettre dûment remplie au responsable du M1 de préférence le jour de la réunion de rentrée en septembre)
Cours 2009-2010
Programme des cours 2009-2010
Emploi du temps et calendrier 2009-2010
Modalités de la scolarité
Inscription 2009-2010
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  examens:

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2008/2009

Laboratoires partenaires à Metz et au Luxembourg :
Laboratoire Mathématiques et Applications de Metz (LMAM) - U.M.R. 7122 C.N.R.S. et Université de Metz
Equipe Systèmes de Traitement des Signaux de Supélec, campus de Metz
Laboratoire de Mathématiques - Université de Luxembourg
Laboratoire partenaire à Nancy :
Institut E. Cartan - U.M.R. 7502 C.N.R.S. et Université Nancy I


  

Cours 2009-2010

PREMIERE SEMESTRE (S7)

30 crédits ECTS à valider : 5 unités de mathématiques (5 crédits ECTS par cours) + 1 unité de langue ( 5 ECTS)
 

7.1- Module M1-0  (18hTD)
Logiciels de calcul mathématique
7.2- Module M1-1  (24hCM, 24hTD)
Analyse fonctionnelle
7.3- Module M1-2  (24hCM, 24hTD)
Géométrie différentielle élémentaire
7.4- Module M1-3  (24hCM, 24hTD)
Introduction aux équations aux dérivées partielles
7.5- Module M1-4  (24hCM, 24hTD)
Probabilités
7.6- Module M1-5  (24hCM, 24hTD)
Groupes et géométrie
7.7- Module M1-6  (24hCM, 24hTD)
Distributions et analyse de Fourier
7.8- Module M1-7  (24hCM, 24hTD)
Problèmes hyperboliques, schémas aux différences
7.9- Module M1-8  (24hCM, 24hTD)
Introduction à la statistique
7.10- Module M1-9  (24hCM, 24hTD)
Langue vivante étrangère à utilisation scientifique
7.11- Module M1-21  (24hCM, 24hTD) Introduction à l'analyse de données
Suggestions pour le choix des modules selon le parcours envisagé



DEUXIEME SEMESTRE (S8)

30 crédits ECTS à valider : 5 unités de mathématiques (5 crédits ECTS par cours) + 1 unité de langue ( 5 ECTS)
 
8.1- Module M1-10  (24hCM, 24hTD)
Calcul différentiel et intégral sur les variétés
8.2- Module M1-11  (24hCM, 24hTD)
Algèbre et arithmétique
8.3- Module M1-12  (24hCM, 24hTD)
Algèbre commutative
8.4- Module M1-13  (24hCM, 24hTD)
Théorie spectrale
8.5- Module M1-14  (24hCM, 24hTD)
Analyse fonctionnelle pour les équations aux dérivées partielles
8.6- Module M1-15  (24hCM, 24hTD)
Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles
8.7- Module M1-16  (24hCM, 24hTD)
Systèmes dynamiques et contrôle
8.9- Module M1-17  (24hCM, 24hTD)
Méthodes statistiques
8.10- Module M1-18  (24hCM, 24hTD)
Recherche opérationnelle
8.11- Module M1-19  (24hCM, 24hTD)
Modèles probabilistes en finance
8.12- Module M1-20  (72hTD)
Travail encadré de Recherches
8.13- Module M1-22  (24hCM, 24hTD)
Séries chronologiques
Suggestions pour le choix des modules selon le parcours envisagé



     


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Programme des cours 2009-2010

Module M1-0 : Logiciels de calcul mathématique
Module M1-1 : Analyse fonctionnelle
Module M1-2 : Géométrie différentielle élémentaire
Module M1-3 : Introduction aux équations aux dérivées partielles
Module M1-4 : Probabilités
Module M1-5 : Groupes et géométrie
Module M1-6 : Distributions et analyse de Fourier
Module M1-7 : Problèmes hyperboliques, schémas aux différences
Module M1-8 : Introduction à la statistique
Module M1-9 : Langue vivantes étrangère à utilisation scientifique
Module M1-10 : Calcul différentiel et intégral sur des variétés
Module M1-11 : Algèbre et arithmétique
Module M1-12 : Algèbre commutative
Module M1-13 : Théorie spectrale
Module M1-14 : Analyse fonctionnelle pour les EDP
Module M1-15 : Méthodes numériques pour les EDP
Module M1-16 : Systèmes dynamiques et contrôle
Module M1-17 : Méthodes statistiques
Module M1-18 : Recherche opérationnelle
Module M1-19 : Modèles probabilistes en finance
Module M1-20 : TER
Module M1-21 : Introduction à l'analyse de données
Module M1-22 : Séries chronologiques


Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-0: Logiciels de calcul mathématique
J.-M. Sac-Epée


1. Langage de calcul scientifique : (Scilab, Matlab,...) Travail sur les tableaux, adressage vectoriel. Rappel des rudiments du langage. Calcul matriciel rapide.
Résolution approchée de problèmes mathématiques. Eléments de graphisme, production de figures et des graphes pour insertion dans un rapport.

2. Langage de calcul formel : (MAPLE, MATHEMATICA,...) Utilisation d'un langage de calcul formel : calcul formel d'intégrales, de développements de Taylor,
d'intersection de surfaces, de spectres, etc. Représentation de surfaces et de courbes.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-1: Analyse fonctionnelle
M. Choulli


1. Etude de quelques espaces de Banach : inégalités de Holder et Minkowski ; étude des lp et Lp, dualité ; espace C(K), K compact ; théorème de Dini ; théorème de prolongement de Tietze ; théorème de compacité d'Ascoli ; théorème de Stone-Weierstrass.
2. Théorème de Hahn-Banach : forme analytique et forme géométrique.
3. Lemme de Baire ; théorème de Banach-Steinhaus ; théorème du graphe fermé ; théorème de l'application ouverte.
4. Topologies faibles et préfaibles.
5. Espaces réflexifs, espaces séparables ; espaces uniformément convexes.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-2: Géométrie différentielle élémentaire
D. Ye


  1. Introduction à la notion de variété différentielle. Définition d'une variété différentielle et de sa topologie. Définition d'une application différentielle entre deux variétés. Définition de l'espace tangent en un point à une variété et de la différentielle d'une application en un point. Forme locale d'une immersion et d'une submersion. Difféomorphisme.

2. Notion de sous - variété et sous - variété plongée. Exemples des surfaces dans l'espace tridimensionnel. Espace tangent à une sous - variété plongée. Applications différentiables à valeur dans des sous - variétés plongées.

3. Champs de vecteurs sur une variété. Intégration, calcul du flot d'un champ de vecteurs. Cas particulier des sous - variétés de l'espace n-dimensionnel.

4. Structure riemannienne sur une variété. Longueur de courbes. Cas des sous - variétés plongées de l'espace n - dimensionnel. Première et deuxième forme fondamentale sur une surface.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-3: Introduction aux équations aux dérivées partielles
Z. Belhachmi


  Ce cours est une introduction à quelques équations aux dérivées partielles fondamentales. Ces équations sont présentées et étudiées avec un minimum de prérequis. On insiste à la fois sur l'aspect "représentation explicite des solutions" et sur les aspects phénoménologiques. On se limitera au problème de Cauchy pour simplifier la présentation des problèmes d'évolution.

1. Equation de transport
Méthode des caractéristiques. Exemples de résolution d'une équation de transport  dans le cas à coefficients variables. Application à l'équation des ondes 1d. Formule de d'Alembert. Cas inhomogène. Formule de Duhamel.

2. Equation de Laplace
Solution fondamentale. Fonctions harmoniques. Principe du maximum. Notion de potentiel de couche. Différents types de conditions limite.

3. Equation de la chaleur
Noyau de la chaleur. Décroissance de l'énergie. Principe du maximum. Notion de problèmes bien et mal posés.

4. Equation des ondes
Formule de Kirchhoff et de Poisson pour l'équation des ondes en dimension 3 et 2.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-4: Probabilités
P. Florchinger


1. Vecteurs aléatoires et théorèmes limites. Généralités. Espérance, Covariance. Convergence en loi. Fonction caractéristique. Théorème de Paul Lévy. Variables aléatoires gaussiennes. Indépendance. Existence d'une densité. Théorème de Fischer. Théorèmes limites. Exemples et applications.

2. Processus stochastiques ; Martingales à temps discret Généralités. Filtration. Temps d'arrêt. Martingales à temps discret. Théorème d'arrêt. Inégalités fondamentales. Théorèmes de convergence presque sûre et dans L². Théorème de décomposition de Doob. Extension du théorème d~arrêt aux temps d'arrêts non bornés. Loi des grands nombres. Applications.

3. Chaînes de Markov Définition et propriétés élémentaires. Propriété de Markov forte. Etats récurrents et transitoires. Mesure invariante. Théorème ergodique de Chacon-Ornstein.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-5: Groupes et géométrie
A. Pasquale


1. Groupes finis
Actions des groupes. Groupes cycliques, symétriques, alternés et diédraux. Théorèmes de Sylow. Classification des groupes finis d'ordre bas.

2. Groupes classiques
Formes bilinéaires symétriques, alternées et hermitiennes. Formes quadratiques sur un corps quelconque. Formes non dégénérées. Classification dans le cas réel et complexe. Isotropie. Groupe général linéaire, groupe spécial linéaire, groupe orthogonal, groupe unitaire, groupe symplectique, groupes orthogonaux (resp. unitaires) généralisés. Espace projectif : coordonnées homogènes, élément à l'infini ; Application projective associée à une application linéaire injective ; Groupe projectif.

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Cours Master 1 - 2009/20010

Module M1-6: Distributions et analyse de Fourier
J. Ludwig


1. Eléments de la théorie des distributions. L'espace des fonctions infiniment différentiables et définition des distributions. Exemples de distributions : fonctions localement intégrables, mesures. Support d'une distribution. Opérations sur les distributions. Produit de convolution de deux fonctions; extension du produit de convolution aux distributions. Suites régularisantes. Partitions de l'unité.

2. Analyse de Fourier sur IRn. L'espace S des fonctions à décroissance rapide et l'espace S' des distributions tempérées. Transformation de Fourier dans L1, S, S' et L2. Théorème de Paley-Wiener. Existence d'une solution fondamentale d'un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants.

3. Calcul explicite des transformées de Fourier. Évaluation des intégrales à l'aide du théorème des résidus. Détermination explicite des transformées de Fourier de certaines mesures et distributions usuelles.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-7 : Problèmes hyperboliques, schémas aux différences
R. Chill


  1- Equations de transport scalaire. Méthode des caractéristiques. Equations de transport linéaires à vitesse constante et non constante. Equations des ondes, de Maxwell, systèmes de Friedrichs. Equation eikonale. Schémas aux différences classiques pour l'équation de transport. Théorème d'équivalence de Lax. Théorème de stabilité de von Neumann. Notion de schéma décentré.
Notion de diffusion et de dispersion numérique.

2- Lois de conservation. Solutions faibles pour les lois de conservation scalaire. Solutions faibles entropiques, chocs, détentes, relations de Rankine-Hugoniot. Problème de Riemann, schéma de Godounov, notion d'entropie numérique.

3- Schémas volumes finis en une dimension. Notion de schéma conservatif. Schéma volumes finis. Schéma à variation totale décroissante. Présentation de la méthode MUSCL. Implémentation sur des exemples simples. Méthode des lignes. Schémas en temps classiques (Euler, Runge-Kutta). Application aux équations de Hamilton Jacobi.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-8 : Introduction à la statistique
P. Bonneau


1. Bases de statistique : données, statistique descriptive, modèle statistique, échantillon et échantillonnage.

2. Compléments de probabilités : vecteurs gaussiens. Lois de probabilités continues habituelles en statistique.

3. Estimation des paramètres : estimateur et estimation ponctuelle, estimateur de maximum de vraisemblance. Estimation ensembliste, intervalle de confiance. Cas gaussien et binomial.

4. Tests des hypothèses : hypothèses, risques, niveau, région critique, décisions statistiques. Puissance, tests UPP. Théorème de NeymanPearson. Cas gaussien et binomial
(tests exacts et tests approximatifs).

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-9: Langue vivante étrangère étrangère à utilisation scientifique
C. Humbert (anglais) et A. Utz (allemand)


 Ce cours donne une introduction à l'utilisation d'une langue étrangère vivante dans le domaine scientifique.  L'objectif est d'apprendre à lire un texte scientifique et à répondre
à des questions y afférants. Les étudiants ont le choix entre l'anglais et l'allemand.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-10: Calcul différentiel et intégral sur des variétés
M.-T. Benameur


  
1. Fibré tangent : rappel de la notion de l'espace tangent dans un point d'une variété M. Construction et propriétés élémentaires du fibré tangent TM de M. Equivalence entre sections de TM
et champs de vecteurs sur M.

2. Formes différentielles : champs de tenseurs, formes différentielles, formes d'orientation. Orientation d'une variété. Dérivée extérieure ou de de Rham. Cas particuliers: gradient, divergence et rotationnel. Cohomologie de de Rham.

3. Intégration des formes : définition et propriétés élémentaires de l'intégrale d'une forme différentielle sur une variété. Théorème de Stokes sur les variétés. Cas particuliers, notamment spécialisation aux théorèmes classiques de l'analyse vectorielle. Applications du théorème de Stokes.

4. Champs de vecteurs : rappel du flot d'un champ de vecteurs sur une variété. Dérivée de Lie et formule magique de Cartan. Théorème de Frobenius et applications.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-11: Algèbre et arithmétique
S. Mehdi


Extensions des corps algébriques et transcendantes. Corps algébriquement clos et clôture algébrique. Corps de rupture et corps de décomposition.
Théorie de Galois. Application à la non résolvabilité des équations par radicaux. Calculs d'exemples de groupes de Galois. Corps finis. Corps de nombres algébriques.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-12: Algèbre commutative
J. Ludwig


Anneaux noethériens. Anneaux de polynômes. Théorème de la base de Hilbert. Anneaux factoriels et théorème de Gauss. Modules sur un anneau. Modules noethériens et structure d'un module
sur un anneau principal. Applications aux invariants de similitude.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-13: Théorie spectrale
M.-T. Benameur


  Ce cours a pour objectif de donner une formation de base en théorie spectrale. Les théorèmes principaux seront illustrées par des exemples traités en détail. L'accent est tout particulièrement mis sur la décomposition spectrale pour les opérateurs normaux compacts ainsi que sur le théorème de Gelfand et le calcul fonctionnel pour les opérateurs normaux. Les prérequis pour ce cours sont contenus dans le cours d'analyse fonctionnelle.

1. Opérateurs compacts : diverses caractérisations et structures de l'ensemble des opérateurs compacts.  Exemples des opérateurs de Hilbert-Schmidt et des opérateurs à trace. Le cas des opérateurs à noyaux. Le théorème de Lidskii.

2. Décomposition spectrale des opérateurs normaux compacts : valeurs spectrales non nulles et multiplicité finie. Théorème de décomposition spectrale. Application à l'alternative de Fredholm,
aux opérateurs de Fredholm et à leur indice.

3. Calcul fonctionnel continu : notion de spectre et correspondance de Gelfand. Théorème de Gelfand. Calcul fonctionnel continu pour les opérateurs normaux. Exemples et applications.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-14: Analyse fonctionnelle pour les EDP
R. Chill


1. Les espaces W {k,p}, les espaces Hs par Fourier : opérateurs de prolongements et de traces ; théorèmes d'injections.

2. Problèmes spectraux associés aux formes bilinéaires continues : quotient de Rayleigh et formule du min-max.

3. Problèmes aux limites elliptiques.

4. Régularité des solutions faibles.

5. Principe du maximum.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-15: Méthodes numériques
K. Taous


1. Méthodes spectrales : polynômes orthogonaux classiques et leur relation avec la théorie de l'approximation: Polynômes de Legendre, de Tchebycheff. Méthode spectrale d'approximation des équations aux dérivées partielles. Exemple de l'équation de Laplace. Convergence. Algorithme de la FFT.

2. Méthode des éléments finis : notion de maillage éléments finis. Discrétisation d'une forme variationnelle. Exemples. Exemples d'éléments finis classiques. Notion de consistance, stabilité, convergence. Estimation d'erreur à priori et à posteriori. Couplage avec des schémas en temps classiques pour les problèmes d'évolution. Implémentation.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-16 : Systèmes dynamiques et contrôle



1. Systèmes dynamiques abstraits, lien avec les équations différentielles, équations d'évolution.

2. Stabilité, fonctions de Lyapunov, principe de Lasalle.

3. Attracteurs, éventuellement mesure de Hausdorff.

4. Systèmes dynamiques dépendants d'un paramètre, bifurcations.

5. Chaos, une ou plusieurs définitions de chaos, par exemple en utilisant la mesure de Hausdorff ou les exposant de Lyapunov.

6. Contrôle des systèmes dynamiques, contrôlabilité, réalisation, méthode de stabilisation asymptotique d'un système avec contrôle, théorie des observateurs, observabilité, conception d'observateurs.

7. Systèmes dynamiques discrets et discrétisation des systèmes dynamiques.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-17 : Méthodes statistiques

 
1. Compléments de statistique mathématique : exhaustivité, liberté, totalité. Modèles exponentiels. Information. Fonctions de pertes. Tests UPPS.

2. Tests d'adéquation et tests à deux échantillons : test de Khi-­deux de Pearson, tableau de contingence, test de Kolmogorov ­ Smirnov. Tests de comparaison de moyenne et de variance.
Tests d'indépendance et de corrélation.

3. Modèles linéaires : régression simple et multiple. Analyse de la variance à un et à deux facteurs. Analyse de la covariance.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-18: Recherche opérationnelle
A. Pasquale


1. Éléments de la théorie des graphes et d'optimisation combinatoire : parcours des graphes, flots et circulations, couplages, chemins optimaux, applications à la recherche opérationnelle, problèmes de flots et d'affectation, problèmes de transport.

2. Introduction aux processus stochastiques de décision : processus stochastiques et programmation dynamique stochastique, applications à la gestion des stocks. Chaînes de Markov finies à temps discret et continu. Processus de Markov et applications. Ergodicité.

3. Éléments de théorie de la fiabilité : données discrètes et courbes de survie expérimentale, forme analytique de la loi de survie, probabilité de consommation, fiabilité des systèmes, sûreté de fonctionnement et stratégie de remplacement.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-19 : Modèles probabilistes en finance
P. Florchinger


L'objectif du cours est de fournir les techniques probabilistes nécessaires à la compréhension des modèles financiers les plus courants. Les modèles financiers exposés dans ce cours sont utilisés
par de nombreux établissements financiers. Le plan du cours est le suivant :

1. Compléments sur les processus stochastiques et les martingales
2. Les actifs financiers
3. Stratégies et arbitrages
4. Marches complets
5. Options européennes et américaines
6. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein
7. Le modèle de Black et Scholes
8. Modèles d'actifs avec sauts
9. Pricing
10. Simulations et algorithmes pour les problèmes financiers.

Prerequis : UE M1-4 Probabilités

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-20: TER


Le TER (Travail d'Etude et de Recherche) consiste en un travail personnel sur un thème lié à une UE de mathématiques choisie dans le cadre du M1. Le travail est effectué sous la direction de l'enseignant (du cours ou du TD) de cette UE, qui propose le sujet du TER. Il donne lieu à un rapport écrit et à une présentation orale devant un jury.

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-21: Introduction à l'analyse des données
J.-P. Croisille et R. Buniou

1. Analyse multivariée
2. Analyse en composantes principales
3. Analyse canonique
4. Analyse des correspondances et des correspondances multiples

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Cours Master 1 - 2009/2010

Module M1-22: Séries chronologiques
S. Gutt


1. Analyse exploratoire des séries temporelles : modèles additifs, filtres, autocovariance, auto corrélation.
2. Modèles des séries temporelles : filtre linéaires et processus stochastiques, modèles ARMA.
3. Analyse fréquentielle : moindres carrés, périodogrammes,
4. Spectre d'un processus stationnaire : caractérisation des fonctions d'autocovariance, filtres linéaires et fréquences, densité spectrale d'un processus ARMA.
5. Analyse statistique dans l'approche fréquentielle : tests pour bruit blanc, estimation des densités spectrales.
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Emploi du temps et calendriers 2009-2010

La réunion de la rentrée du Master de Mathématiques, première année, aura lieu le mardi 8 septembre 2009 à 10h, salle Ampère, bâtiment des Sciences.

Le début des cours est fixé au mercredi 9 septembre 2009.
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Inscription 2009-2010


Les demandes d'inscription en première année du Master Mathématiques de Metz pour l'année academique 2009/2010 doivent être effectuées exclusivement sur le site web de l'UFR MIM (Mathématiques, Informatique, Mécanique)

http://www.mim.univ-metz.fr

puis cliquer

ADMISSION ANNEE 2009/2010


Scolarité UFR MIM
Ile du Saulcy
Université Paul-Verlaine Metz
F-57045 Metz
FRANCE


scolmim@sciences.univ-metz.fr
 
 
 
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Contacts

Responsable du Master, première année :

Salah Mehdi
Bureau 108
Université de Metz
Bâtiment A, Ile du Saulcy
F-57045 Metz cedex 1
FRANCE
 
Tél : 03 87 31 52 70
Fax : 03 87 31 52 73
mél : mehdi@univ-metz.fr


Sécretariat du Master Mathématiques:

Sedat YAMANER
Secrétariat du Master Mathématiques et Applications
Université de Metz
Bâtiment A, Ile du Saulcy
F-57045 Metz cedex 1
FRANCE
 
Tél : 03 87 31 52 71
Fax : 03 87 31 52 73
mél : sedat@math.univ-metz.fr
 
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