Université de Metz DEUG MAAS-MIAS $1^e$ année



Le corps $\mathbb{R}$


  1. Notion de corps ordonné;



    Définition : Un corps (commutatif) est un ensemble $E$ muni de deux lois de composition interne $+$ et $\times$ telles que :

    1. $(E,+)$ soit un groupe, dont on note  0 l'élément neutre .
    2. $(E\backslash\{0\},\times)$ soit un groupe, dont on note le neutre $1$.
    3. $\times$ soit distributif par rapport à $+$, c'est à dire $(a+b)\times c = a \times c + b \times c$




    Définition : Un ordre sur un ensemble $E$ est une relation binaire, notée $\leq$, qui est réfléxive, transitive et antisymétrique, c'est à dire :

    1. Réfléxive : $\forall x \in E$, $x \leq x$.
    2. Transitive : $\forall (x,y,z) \in E^3$, $x \leq y $ et $y \leq z \Rightarrow x \leq z$.
    3. Antisymétrique : $ \forall (x,y) \in E^2$, $x \leq y $ et $y \leq x \Rightarrow x = y$.

    Exemple : la relation de divisibilité est une relation d'ordre dans $\mathbb{N}$




    Définition : Un corps ordonne $(E,+,\times,\leq)$ est un corps $(E,+,\times)$ muni d'une relation d'ordre $\leq$ et vérifiant :

    \begin{displaymath}\forall x,y,z \in E, y \leq z \Rightarrow x+y \leq x+z\end{displaymath}


    \begin{displaymath}\forall x,y \in E, 0 < x \mbox{ et } 0 < y \Rightarrow 0 < x \times y\end{displaymath}

    Exemple : $(\mathbb{Q},+,\times,\leq)$ est un corps ordonné.




    Propriétés des corps ordonnés (on suppose pour la dernière $1>0$):

    $\displaystyle x \neq 0$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle \mbox{sign}(x)=-\mbox{sign}(-x) \mbox{ où } sign(x) \stackrel{\bi...
...} & x > 0\\
0 & \mbox{si} & x = 0\\
-1 & \mbox{si} & x < 0
\end{array}\right.$  
    $\displaystyle x > 0 \mbox{ et } y < z$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle x \times y < x \times z$  
    $\displaystyle x < 0 \mbox{ et } y < z$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle x \times y > x \times z$  
    $\displaystyle x \neq 0$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle x^2 > 0$  
    $\displaystyle 0 < x < y$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle 0 < frac{1}{y} < frac{1}{x}$  

    Démonstration :
    1. Si sign$(x)=$ sign$(-x)$, alors, pour $x>0$, $-x>0$ donc $x+(-x)>0+0$, d'où $0>0$, ce qui est absurde. Il en va de même pour $x<0$. La propriété est donc démontrée par l'absurde.
    2. Si les hypothèses sont vérifiées, alors $0<z-y$ et $0<x$ donc $0<x \times (z-y)$ d'où le résultat.
    3. Même démonstration que ci-dessus en utilisant $(-x)$ à la place de $x$.
    4. Si $x>0$ alors : $x>0$ et $x>0 \Rightarrow x \times x >0$; sinon on fait de même avec $-x$.
    5. On a, en fait, $x>0$ et $y <0 \Rightarrow x \times y < 0$. En effet, si $x>0$ et $y < 0$, alors $-y >0$ donc $x \times (-y) > 0$ d'où $x \times y < 0$. Par conséquent, comme $x \times \frac{1}{x} = 1 >0$, si $x>0$, alors $\frac{1}{x}>0$. Sachant cela, si $0<x<y$, alors, $0< x \times \frac{1}{x} < y \times \frac{1}{x}$, puis de même, $0< 1 \times \frac{1}{y} < \frac{y}{x} \times \frac{1}{y}$ d'où le résultat.




  2. Bornes supérieures et inférieures



    On se place dans un ensemble ordonné $(E,\leq)$. Dans la suite, $A$ désigne une partie de $E$


    Definitions :

    Remarque : Si $A$ admet un plus petit ou un plus grand élément, ils sont uniques. En effet, soit $\alpha$ et $\beta$ deux plus grands éléments de $A$, alors $\alpha \leq \beta$ et $\beta \leq \alpha$, donc $\alpha = \beta$


    Propriétés: Les propriétés similaires sont valables pour la borne inférieure.




  3. Introduction de $\mathbb{R}$



    Le besoin d'introduire un nouveau type de nombre après $\mathbb{Q}$ provient de l'observation d'une faiblesse dans la structure de cet ensemble. En effet, bien qu'il soit totalement ordonné, il ne permet pas de ``remplir'' une droite : on peut construire un point dont l'abscisse n'est pas dans $\mathbb{Q}$, par exemple en considérant la longueur de la diagonale d'un carré de côté $1$. On est donc ammené à construire un sur-corps de $\mathbb{Q}$ qui pallie à ce manque.




    Proposition : l'équation $x^2 = 2$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Q}$


    Démonstration : Si cette équation avait une solution dans $\mathbb{Q}$, alors elle pourrait s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\frac{p}{q}$. Mais alors, $\frac{p^2}{q^2}$ doit être une fraction irréductible ($q$ ne divisant pas $p$). Or $p^2 = 2 \times q^2$ (puisque $\frac{p^2}{q^2}=2$) donc $q^2$ divise $p^2$ et $\frac{p^2}{q^2}$ n'est pas irréductible. On a donc démontré par l'absurde la proposition.


    Corollaire : $A={x \in \mathbb{Q}\mid 0 \leq x \mbox{ et } x^2 < 2}$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$
    Il existe donc des parties de $\mathbb{Q}$ non vides, majorées, mais n'admettant pas de borne supérieure, telles l'ensemble $A$ défini ci-dessus.




    Théorème : Il existe un corps ordonné, noté $(\mathbb{R},+,\times,\leq)$, sur-corps de $(\mathbb{Q},+,\times,\leq)$ possédant la ``propriété de la borne supérieure'' : $\forall A \subseteq \mathbb{R}, A \neq \emptyset$ et $A$ majorée $\Rightarrow A$ admet une borne supérieure.


    La démonsrtation se fait par construction de $\mathbb{R}$. Cette construction ne sera pas faite ici.




    Proposition : Dans $\mathbb{R}$, toute partie non-vide et minorée admet une borne inférieure.




    Propriété : $\mathbb{R}$ est archimédien, c'est à dire :

    \begin{displaymath}\forall x \in \mathbb{R}, x > 0, \forall y \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, y < n \times x\end{displaymath}



    Propriété : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, c'est à dire :

    \begin{displaymath}\forall x,y \in \mathbb{R}, x<y, \exists r \in \mathbb{Q}, x<r<y\end{displaymath}

    Remarque : $\mathbb{R}$ est archimédien parce que $\mathbb{Q}$ l'est déjà.




  4. Partie entière, valeur absolue, racine


    Proposition-définition : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists \mathbb{! }z \in \mathbb{Z}, z \leq x <z+1$. On appelle ce $z$ la partie entière de $x$, notée $E(x)$.




    Démonstration : Cette propriété découle directement du fait que $\mathbb{R}$ soit archimédien. En effet, ${k \in \mathbb{Z},x < k \times 1}$ est non vide et minoré. Or tout enseble non non vide minoré de $\mathbb{Z}$ admet un minimum. Il suffit de noter $z+1$ ce minimum.




    Définition : On appelle valeur absolue de $x \in \mathbb{R}$, notée $\mid x \mid$ :

    \begin{displaymath}\mid x \mid = \left \{
\begin{array}{rcl}
x & \mbox{ si } & x \geq 0\\
-x & \mbox{ si } & x < 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}




    Propriétés de la valeur absolue :
    $\displaystyle \mid x \mid$ $\textstyle \geq$ $\displaystyle 0$  
    $\displaystyle \mid x \mid$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mid -x \mid$  
    $\displaystyle \mid x \mid$ $\textstyle \leq$ $\displaystyle r \Leftrightarrow -r \leq x \leq r$  
    $\displaystyle \mid x+y \mid$ $\textstyle \leq$ $\displaystyle \mid x \mid + \mid y \mid$  
    $\displaystyle \mid \mid x \mid - \mid y \mid \mid$ $\textstyle \leq$ $\displaystyle \mid x-y \mid$  

    Ces propriétés sont évidentes à démontrer. Par contre, il vaut mieux éviter de perdre du temps à les retrouver, donc il conseillé de les connaitre...




    Théorème - Définition : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. $\forall x \in \mathbb{R}, x>0 , \exists \mbox{! } y \in \mathbb{R}, y>0, y^n = x$. On appelle racine n-ième de x ce y et on le note $y= \sqrt[n]{x}$.